Menguak Simbol Tak Hingga (∞)

alam ilmu matematika, dapat kita jumpai berbagai macam simbol-simbol matematika. Simbol-simbol tersebut diperkenalkan oleh para matematikawan. Karena banyaknya simbol-simbol dalam matematika, sering kali pengertian simbol itu tidak dijelaskan dan dianggap maknanya telah diketahui. Hal ini kadang menyulitkan bagi mereka yang awam dengan simbol-simbol dalam matematika.  Maka dari itu, adanya daftar yang diorganisir menurut jenis simbolnya dimaksudkan untuk mempermudah pencarian simbol-simbol yang kurang dikenal dari penampakannya.

Dari sekian banyak simbol dalam matematika dengan bentukyang sangat unik, penulis hanya akan membahas secara mendalam salah satu simbol saja yaitu simbol tak hingga (infinity). Namun, sebelum membahas secara mendalam mengenai simbol tak hingga, kita akan membahas tentang pemahaman bentuk simbol tak hingga terlebih dahulu. Ternyata sebagian orang dari kita memiliki perbedaan dalam pemahaman simbol tak hingga, ada yang beranggapan bahwa simbol tak hingga itu adalah ∞, tapi ada juga yang beranggapan lain bahwa simbol tak hingga yaitu ~. Untuk meluruskan perbedaan pemahaman mengenai simbol tak hingga itu, maka penulis akan memaparkan sebenarnya simbol tak hingga yang tepat itu yang mana, apakah ∞ atau ~?.

Sesungguhnya simbol ~ bukanlah simbol tak hingga dari keterhinggaan, melainkan simbol tersebut merupakan sebutan atau bacaan lain dari nama distribusi probabilitas dapat dibaca juga tak hingga yang termasuk kategori statistika dalam daftar terorganisir menurut jenis simbol matematika. Mungkin, dari situlah ada yang beranggapan kalau simbol tak hingga adalah ~ karena bacaannya yang sama. Atau kemungkinan lainnya, pertama kali mengetahui bentuk simbol tak hingga seperti ini: ~, maka yang mereka tau untuk simbol tak hingga adalah ~.Jika kita lihat dalam daftar yang telah terorgaanisir menurut jenis simbol, maka kita akan mengetahui bahwa simbol tak hinggaatau keterhinggaan itu  yang lebih tepatnya adalah ∞.

Gambar 1. Simbol Infinity

Jika kita berbicara tentang definisi, Definisi dari simbol tak hingga (Infinity) adalah sebuah konsep abstrak yang menggambarkan sesuatu yang tanpa batas dan relevan dalam sejumlah bidang, terutama matematika dan fisika.Tak hingga (Infinity) itu dalam daftar simbol matematika yang telah diorganisir menurut jenis simbolnya termasuk ke dalam daftar simbol bukan huruf yang lain dan merupakan kategori bilangan.Namun, ada beberapa orang yang berpendapat bahwa tak hingga bukan benar-benar bilangan. Tak berlaku seperti bilangan yang biasa kita gunakan. Bilangan yang kita gunakan seluruhnya memiliki akhir, tetapi tak hingga tidak memilikinya. Beberapa orang juga ada yang berpendapat bahwa tak hingga ialah tiap bilangan (kecuali 0) yang dibagi oleh 0 sehingga bernilai tak hingga.

Dalam wikipedia, bahwatakhingga atau ananta yang sering ditulis ∞, ialah bilangan yang lebih besar dari pada tiap-tiap yang kemungkinan dapat dibayangkan.

Kemudian, ada juga yang  mendefinisikan yang lain tentang tak hingga dalam blog wordpress-nya by Aria Turn bahwa Tak hingga atau infinity yang dinotasikan ∞  diambil dari kata latin “infinitas” yang artinya tak terbatas/ unbounded  adalah sebuah konsep BUKAN bilangan atau angka seperti yang disangka banyak orang. Dalam matematika ∞ adalah “sesuatu” yang lebih besar dari bilangan manapun tetapi sesuatu itu BUKAN bilangan,  dengan kata lain tidak ada bilangan yang lebih besar dari ∞.

Karena ∞ bukan sebuah bilangan maka ∞ tidak ganjil, tidak genap dan tidak prima.

Dalam kamus matematika Carol Vorderman, definisi tak hingga adalah tanpa batas-batas ukuran atau jumlah, tidak terbatas, tidak ada akhirnya.

Jika penulis berpendapat mengenai definisi tak hingga, pendapat penulis tidak jauh berbeda dengan definisi pada umumnya, bahwa tak hingga itu diguakan untuk bilangan yang tak dapat terhitung besarnya atau tak terbatas dan bilangan itu bukan bilangan real, maka dari itu digunakanlah simbol tak hingga (∞) sebagai tanda nilai yang tak terhitung besarnya.

Setelah membahas mengenai definisi dari tak hingga, selanjutnya mari kita mulai dengan sejarah simbol Tak Hingga (Infinity), yang dibagi kedalam beberapa masa sebagai berikut: 

Awal Yunani, tercatat bahwa ide infinity paling awal berasal dari Anaximander, seorang filsuf  dari Yunani pra-Socrates yang tinggal di Miletus. Dia menggunakan kata “apeiron” yang berarti tak berbatas atau tak terbatas. Namun, awal pembuktian infinity matematika oleh Zeno dari Elea (C 490 SM - C 430 SM), Seorang filsuf  Yunani pra-Sokrates dari selatan Italia dan anggota Eleatic Sekolah yang didirikan oleh Parmenides.

Aristoteles memanggilnya penemu dialektika. Dia terkenal karena paradoksnya yaitu paradoks Achilles dan Kura-kura. Paradoks ini terkenal karena orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Walau sekarang terkesan tidak terlalu sulit, tapi butuh waktu ribuan tahun sebelum matematikawan dapat menjelaskannya. Paradoks Achilles dan kura-kura kira-kira seperti ini :

Gambar 2. Achilles dan kura-kura

Zeno menganalogikan paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura sudah tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura diberi keuntungan dengan start awal di depan, katakanlah 10 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai titik 10 m (titik di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti sudah melangkah maju, jauh lebih lambat memang, katakanlah dia baru melangkah 1 meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 11m, tapi si kura lagi-lagi sudah melangkah maju 0,1 m. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura sebelumnya berada, si kura-kura sudah melangkah lebih maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari tidak akan bisa mendahului kura-kura.

Awal India, teks matematika india Surya Prajnapti (C abad SM 3-4) mengklasifikasikan semua bilangan menjadi tiga set, yaitu: dapat dihitung, tak terhitung, dan tak terbatas. Masing-masing selanjutnya dibagi menjadi tiga perintah:

1.    Dapat dihitung: terendah, menengah, dan tertinggi.

2.    Tak terhitung: hampir tak terhitung, benar-benar tak terhitung, dan tak terhitung banyaknya.

3.    Tak terbatas: hampir tak terbatas, yang tidak terbatas, tak terhingga/ tak terbatas.

Dari klasifikasi bilangan dalam teks matematika india Surya Prajnapti, kita ketahui terdapat kata dapat terhitung, tak terhitung, dan tak terbatas. Agar kita paham tentang kata-kata seperti itu, Penulis akan mencoba menjelaskan yang berkaitan dengan klasifikasi bilangan tersebut sehingga kita mengetahui perbedaannya. Dalam dunia matematika terutama dalam materi himpunan, bahwa:

1.    Terhitung/ terbilang adalah segala anggota-anggotanya (angkanya) dapat ditunjukkan satu persatu. Contoh:

A=Himpunan bilangan asli kurang dari 3.

Ditulis: A={1,2,3}

2. Tak terhitung adalah segala anggota-anggotanya (angka) tidak dapat ditunjukkan satu persatu. Contoh:

B= Himpunan bilangan cacah.

Ditulis: B={0,1,2,3,...}

3.   Terbatas adalah segala yang memiliki batasdan atau dapat dihitung. Contoh:

4.   Tak terbatas adalah segala yang tidak memiliki batas atau tidak dapat dihitung.

5.   Terhingga adalah segala angka yang terhingga atau dapat dihitung. Contoh:

E= Himpunan bilangan bulat 0 sampai 5.

Ditulis: E= { 0,1,2,3,4,5}

6.   Tak terhingga adalah segala angka yang tak terhingga atau tidak dapat dihitung. Contoh:

F= Himpunan bilangan genap.

Ditulis: F= { 2,4,6,8,...}

Abad ke-17,  matematikawan dari Eropa mulai menggunakan nomor yang tak terbatas secara sistematis.

Gambar 3. John Wallis

John Wallis pertama kali yang menggunakan notasi  ∞ untuk nomor tersebut. Lebih jauh Wallis menulis

 . 

Pada awal abad ketujuh belas juga para ahli matematika  telah menangani deret tak hingga di antaranya adalah Rene Descartes (1596-1650).

Gambar 4. Rene Descartes

Descartes telah memecahkan kebuntuan beberapa abad, yakni dapat menjelaskan paradoks Zeno secara memuaskan dengan menggunakan limit jumlah deret tak hingga. Paradoks ini diselesaikan secara matematika.

Dalam paradoks Zeno, dianalogikan Achilles dan kura-kura lari. Achilles mencapai posisi awal kura-kura yaitu 10 meter. Kemudian Achilles mencapai posisi kedua kura-kura dalam 1 meter. Demikian pula Achilles mencapai posisi ketiga kura-kura dalam 0,1 meter dan seterusnya ...

Jarakyang diperlukan Achilles untuk menyusul kura-kura akan membentuk Deret Geometri tak berhingga: 

  10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ....

dengan ratio (perbandingan antara dua suku yang berurutan)  r = 0,1.

Dan jumlah suku-suku yang banyaknya tak hingga pada deret tersebut adalah BERHINGGA, karena deret diatas adalah deret yang konvergen, bisa dicari dengan:

a = suku pertama

r = adalah rasio

Sehingga jumlah total deret untuk memecahkan paradox zeno adalah  

Jadi Kura-kura akan tersusul oleh Achilles hanya dalam waktu 10/0,9 detik.

Dan demikianlah kita temukan juga antinomi dari Immanuel Kant.

Gambar 5. Immanuel Kant

Gambar 6. Santo Agustinus

Kalau ketakhinggaan St. Agustinus menyangkut “tak hingga sesungguhnya” dan “kemampuan tak hingga” yang lebih banyak bersifat keagamaan maka ketakhinggaan yang dikemukakan Kant menyangkut ruang, waktu, serbaterus, diskrit, sebab-akibat, dan kebetulan.

Dalam antinominya, Kant mempertentangkan tak hingga dan terhingga dalam masalah ruang dan waktu. Mengemukakan dalam bentuk antinomi tersebut ternyata Kant mempertahankan kedua-duanya yakni Kant menyatakan bahwa ruang dan waktu terhingga dan juga tak hingga. Tentunya hal ini berkaitan dengan alam pikiran Kant sendiri yang yakin bahwa ada “sesuatu di dalam sesuatu itu sendiri” yang terletak “di luar” pemikiran tetapi merupakan kenyataan yang terpisah. Alasan untuk mengatakan dunia  terhingga kata Kant akan sama kuat dengan alasan untuk mengatakan dunia tak hingga. Oleh karena itu, antinomi Kant ikut menggolongkan terhingga dan tak hingga demikian sebagai “sesuatu di dalam sesuatu itu sendiri” dan terletak “di luar” pemikiran manusia.

Dengan pandangan Kant ini maka ketakhinggaan yang belum dibahas dalam matematika pada waktu itu tidak juga menemukan pemecahan secara filsafat. Ketakhinggaan merupakan sesuatu yang belum dipahami orang.

Bahasan dari definisi dan sejarah dari simbol tak hingga menjadikan kita bertambahnya wawasan mengenai simbol tersebut. Namun, apakah kita tau asal mula bentuk simbol tersebut? Mari kita bahas mengenai asal mula bentuk simbol tak hingga ini. Untuk simbol  tak terhingga  (∞) diperkirakan mungkin berasal dari varian pada Ouroboros klasik.

Gambar 7. Ouroboros

Dengan ular melingkar sekali sebelum makan ekornya sendiri, dan penggambaran seperti dari loop ganda sebagai ular makan ekornya sendiri yang umum hari ini di fantasy art dan sastra fantasi, meskipun dugaan lain bisa juga.

Ouroboros ini merupakan pembaharuan siklus abadi hidup dan tak terbatas, konsep keabadian dan kembali abadi, dan merupakan siklus kehidupan, kematian dan kelahiran kembali, yang mengarah ke keabadian, seperti dalam phoenix. Mungkin dari kata tak terbatas lah yang menjadikan dugaan bahwa simbol tak hingga berasal dari varian ouroboros klasik.

Ternyata simbol tak terhinggamemiliki kegunaan dalam beberapa cabang ilmu matematika antara lain yaitu:

1. Analisis nyata/ Analisis Real. Simbol ∞ digunakan untuk menunjukkan batas tak terbatasberarti bahwa x tumbuh tanpa terikat, danberarti nilai x adalah menurun tanpa terikat.

2. Analisis Kompleks. Simbol ∞ untuk menunjukkan limit yang tak terbatas.berarti bahwa besarnya |x|,  x melampaui nilai yang diberikan.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa sejarah takhingga dimulai pada awal yunani, awal pembuktian infinity matematika oleh Zeno dengan paradox miliknya yaitu Paradoks Achilles dan kura-kura. Dilanjutkan keawal India, dalam teks matematika India Suya Prajnapti diklasifikasikan bilangan kedalam tiga set, yaitu: dapat dihitung, tak terhitung dan tak terbatas. Dan pada abad 17, Descrates dapat menjelaskan paradoks Zeno secara memuaskan dengan menggunakan limit jumlah deret tak hingga.

Bentuk yang tepat untuk keterhinggaan adalah ∞ bukanlah ~. Karena simbol ~ dibaca tak hingga dalam statistika probabilitas. Untuk istilah bilangan, bahwa yang dinamakan terhitung/ terbilang adalah angka yang dapat ditunjukkan satu persatu. Tak terhitung adalah angka tidak dapat ditunjukkan satu persatu. Terbatas adalah segala yang memiliki batas atau dapat dihitung. Tak terbatas adalah segala yang tidak memiliki batas atau tidak dapat dihitung. Terhingga adalah segala angka yang terhingga atau dapat dihitung. Tak terhingga adalah segala angka yang tak terhingga atau tidak dapat dihitung.

Penggunaan simbol tak hingga antara lain dalam analisis nyata/ analisis real, dan analisis kompleks. Untuk cabang ilmu matematika analisis real/ analisi nyata simbol tak hingga digunakan untuk menunjukkan batas tak terbatas. Dalam analisis kompleks digunakan untuk menunjukkan limit tak terbatas.